Ich habe nun ein Android Handy, und habe die App für mein altes Apple Smartphone gekauft (oder andersrum)- kann ich die App kostenfrei "mitnehmen"?

Das geht leider nicht, du musst die App erneut kaufen. Das liegt nicht an uns, sondern ist bei allen Apps so.  

Hintergrund ist, dass du eine App über einen App Store kaufst. Diese werden bei Android (Google) und iOS (Apple) von zwei unterschiedlichen Unternehmen betrieben. Bei jedem Store hast du ein anderes Kundenkonto hast. Die Firmen tauschen die Informationen über deine App-Käufe leider nicht aus, wahrscheinlich auch, um selbst auf den Umsatz nicht zu verzichten (beide Firmen verdienen bei den App-Verkäufen zu 30% mit).

Leider kann man die App auch nicht einfach kopieren, da Apps für Android und iOS in unterschiedlichen Programmiersprachen geschrieben werden.